求職していたときに、ハローワークで「パートよりも契約期間の短い派遣は大変」と聞きました。
常に次を探しながら働くような感じなのですか？と聞いたらそうだということでした。

正社員にこだわらなくても、
登用の可能性があるところならパートでもありかもしれません。
時給だとサービス残業は基本ないですし、勤務時間次第で雇用保険も可能です。
(月あたりの時間で付きます)

ですが、ボーナスや続けることでの昇給は見込めません。

ここならやっていけそう！てところに入ってから社員になりたい、と相談するのも私はありだと思います。
遠回りに思えるかもしれませんが、
会社にとっても自分にとってもメリットがある為、
実績があれば通りやすい話です。
未経験の職種などではおすすめの方法です。