島根県は東西に長い場所ですが、実は移動については車がないととても大変です。私の友人もひとりで島根観光はご自身でレンタカーを借りて移動していました。

足がお悪いとのことですので、もし金銭的にご負担でなければ地元の観光タクシーをご利用になるのが良いかなと思います。
これが一番体力的にもラクだと思います。
天候も気にしなくていいです。
ご用事先でお尋ねになれるのでしたらお聞きになるか、あるいは宿泊先でお尋ねになっても手配をしてくださると思います。
もしくは検索で「島根観光タクシー」と検索するといろいろ出てきますし、料金などもわかると思います。半日なら3～4万くらいかな、と思いますが、どうでしょう・・・。

なお、美術館は松江に県立美術館、有名な足立美術館があります。
他はだいたいみなさんパワースポットとして神社を巡られる方が多いかと。
11月くらいなら本当は出雲大社は神在月で一番いい時期なんですが、人は多いから大変みたいです。確かに体力削られると思います。
参考にしていただければ幸いです