日割りで請求されるので月末がいいと思います。auの料金は今月中いつ解約しても必ず1ヶ月分は請求されます。UQは日割りが可能なので月末の方がお得になります。UQショップでは乗り換えの場合端末が一円だったりするのでお得になってる場合があるので貰って代替え機にするなどの使い方もありかと思います。
補足としてauから移った場合携帯電話に任意の保険をかけておかないと壊れた場合かなり苦労します。代替え機を貸してもらうとかなり高額なのでその辺りも良く検討してください。
最後にSIMロック解除を今のうちにしておくと後々楽です。auのサイトから今まで使ってた携帯のSIMロックを外すことが可能です。しかしあまりにも古いものはできません。auからUQの場合はしなくてもそのまま使うことは可能なので任意です。他の携帯会社に乗り換える必要がなければ不要な作業です。