バイト先のルールを守ってらっしゃったのであれば、質問者さんの対応は間違ってはいないと思います。
ただ、手かトングでとあるならば、私だったらトングでお願いしたいかなぁ。
手袋を付けるのなら、手でもありだと思いますが。。。
紙でくるんであっても、手で掴まれるのは「え！」って思います。

お客様は、お店のルールは知りませんし、衛生観念は人それぞれです。
手でも気にしない人もいれば、とても気になる人もいるわけで。。。
そのような場合、私なら謝罪した上でお店のルールであることを伝え、トングで取った物を詰めるようにしますね。
そして、お客様からのご意見を、上の人に伝えます。
多様な価値観のお客様に対応するためには、より安全な方法を選びます。
手で掴む前に、アルコール消毒とかしていましたか？
ノロウィルスとか、食中毒とか、食品関係のお店から発生したら、死活問題じゃないですか。
私ならそういうリスクは避けるような方法を選びますね。
問題があるとすれば、そのお店のマニュアルだと思います。