はじめまして。

お悩みの症状ですが、インナードライ肌によるトラブルかと思われます。
テカる場所の皮が剥けるということですが、逆に言えば皮が剥けるほど肌内部は水分不足になっている為、皮脂がそれを補おうとしてテカっているのかもしれませんね。

改善方法としては、メイク前の保湿だけでは難しいかと思います。
前夜あるいは毎晩のケアが重要になってくるのではないでしょうか？
インナードライ肌のケアには水分の補給と維持が必要になります。
化粧水・美容液などで水分を補給した後はクリーム類などで「フタ」をして蒸発を防ぐことも必要です。
また、化粧水によるコットンパックや水分補給効果のあるマスクなども効果的かと思われます。
しかし、このようなケアをなさっているようなら、使用量とつけ方を見直してみるのも良いかもしれませんね。
この点はブランドによって変わりますので、BAさんなどに確認をした方が確実ではないでしょうか。
あとは、朝の洗顔で必要な潤いを奪っているという事はありませんか？
ミルククレンジングや拭き取り化粧水でふきとるか、無ければ普通の乳液をコットンに馴染ませ拭き取ってからぬるま湯で洗い流す程度でも良いかと思います。

インナードライ肌の要因として考えられるのは、皮膚温度の個人差などもありますが、エアコンなどの日中の環境によるところも大きいといわれます。
肌の事を考えると、保湿効果の高いリキッドの方がお薦めですが・・・忙しい朝もありますよね（笑）
スポンジはダメでパフはOKという事は、少しでも刺激をあたえれば皮が剥ける状態なのでしょうね。
スポンジだと多少の摩擦で皮も剥け易くなるので、先のご意見でもあったようにブラシやフェイスパウダー用のパフを使ってみるのも良いと思います。
特にパフで下から上につけると毛穴も目立ちにくく、意外とキレイに仕上がります。
確か昔、資生堂（かな？）でパフでつけるパウダーファンデが販売されていたかと思います。
また、ファンデの後に修正する時は指ではなく、綿棒やアイシャドウチップの先に美容液や乳液を使って馴染ませる方がよれにくいかもしれません。