>>Twitterでよくスリムな方や、キレイな顔の女性の写真をアイコンにしている方がいますが、あの様なアイコンは許可をとって載せているのでしょうか？
→そのアカウントご本人の画像でしたら許可は必要ありません。
自分で撮影した自分の画像を何に使うかはご本人の自由ですので……

ご本人でない場合は、無断使用の可能性があります。
無断使用だった場合、見つけた際には運営のほうに「著作権に反する」と報告して差し上げてください。
報告のやり方はご自分でもお調べください。


>>公式の加工もされていないアニメのキャラクターの画像をアイコンにしたいのですが、許可を取らずにしても良いのでしょうか？
→ダメです。
公式画像の場合、絶対ダメです。
「じゃあ許可を取ればいい」と思われるかもしれませんが、連絡をしたところでアニメの製作会社から直々に許可はおりないと思います。

ただ、「他の人も使っている」と言われたら確かにそういう人もいます。
しかし、そういう人がいるからといって権利的に許されたわけではありません。
アニメの製作会社が目をつぶっているか、まだアニメの製作会社に見つかっていないかのどちらかです。

アニメの公式画像を勝手にアイコンにして、その画像の権利者(著作権の持ち主)から正当な手続きが取られた場合、最悪アカウントが使用できなくなる可能性があります。

また、「アイコンにしただけなのに」と思われるかもしれませんが、著作権侵害で訴えられても文句が言えない状況になりますので、絶対に使わないでください。

アイコンにしても良いのは「自分に著作権が発生する画像」、「著作権フリーの画像(著作権がない画像)」、「著作権の持ち主がアイコンにしてもいいと言っている画像」だけです。

あとはアニメの公式画像でも、アイコン用に画像を配布していることもありますので、アニメの公式画像を使いたい場合はそういった専用の画像を使うようにしてください。

そういうアイコン用の画像がない場合は、公式が許可していないということですので、どの画像も使ってはいけません。