詳しいわけではありませんが、形状の違いだと思ってました。

ブリオンは、金属色の小さな丸い玉。

bullion beadsとも言いますよね。bullionは金の塊、beadsはビーズ、小さな孔を開けた玉のこと。なので、元のイメージは小粒な金の珠。

スタッズはstuddsで鋲のこと。

スタッドベルトなどの金属の飾り鋲と同じで、形はいろいろで、玉を潰したような円形や、角錐形の尖ったものも。

爪に対する接地面積（安定性）は、玉>平べったいものや角錐ですが、そもそもポリッシュやジェルが渇ききらないうちにピンセットで乗せて、上からたっぷりコーティングすることを思えば差はないでしょう。

ですから、お好きなものを選んで良いと思います。