普通はプロの美容師(美容院)で染めてもらうと、上手く染まるハズなんですけどね…。この髪の毛の色では、染め残しのような感じでしょうか。
できるだけ早めに再度、美容院に行くと、やり直してもらえるとは思いますが、染色剤はアレルギーを起こす可能性もあり、若い貴女にはとても心配です。
対応やサービスもあまり良くないみたいですし、美容院を変えたいくらいの気持ちになってしまいますね。
染まらない原因の一つに、あまりに明るめの色を白髪染めで希望すると、白髪はあまり染まらないよと最初に忠告されます。真っ黒でなく明るめの茶色を指定したなら白髪があまり染まらないこともあり得ると思います。髪の毛が太い人も染まりにくいかもしれません。でも、2,3回通った方が良いと言われる意味がよく分かりません。普通の白髪染めは1度で染まるハズなんですが…。染まりにくい人は、放置時間を少し長めにしたり、しっかり塗ったりするのではないかと思います。

まだ若いので、年を取ったらもっと頻繁に白髪染めをするかもしれないから、今は普通の白髪染めではなく、アレルギーが起こりにくい薬剤の白髪染めか、カラートリートメント(ヘアマニキュア)を使用してみても良いのではないでしょうか？
自宅でも染めれる物で、お風呂で髪を洗った後に、トリートメントみたいに髪に付けて、数分(髪が太い人は十数分)置いて、洗い流すようなものです。
レフィーネは、肌に優しい成分でできています。ルプルプとか、利尻昆布の商品もあります。
(すでに使ったことがあり、気に入らなかったのならごめんなさい。)
美容院でもヘアマニキュアはやっていますが、色持ちが1～2週間程度と短く経済的ではないので、ヘアマニキュアするなら自宅で染めた方が良いです。