病院で開けなくても、綺麗に開けてくれる人がいればですが…。
私が行った皮膚科では一ヶ所、耳のどの部分でも一律￥1500でした。
その病院では、自分で買ったピアッサーを持っていけばさらに安くなります。
しかし、未成年は保護者の同意が必要であると思います。

ピアスを開ける際にはニードル（注射針のようなもの）を使うと、綺麗に早くホールが完成します。雑貨やさんでも売ってるので探してみて下さい。
毎日の消毒と軟膏を塗ったりなどお手入れはかかせませんが。
しかし、エタノールなどの強い消毒液は傷の治りを遅くさせてしまうので、病院で処方された軟膏を使う方が良いでしょう。

あくまで個人的な意見ですが、病院で開けても自分で開けてもあまり変わらない気がします。ピアスホールってまじまじと見られるものではないですし…。
でも穴が傾いてしまうとピアスも曲がった方向に向いてしまいますので気にはなりますよね。
ドラッグストアなどで売っている「瞬速ピアッサー」は一瞬で痛みも少なくラクに終わりましたよ。
他のピアッサーよりは若干針が太い気もしますが…。
ピアスを開けたことのある友達などに頼んでみてはいかがでしょうが？