旦那様も若いのにお小遣いの範囲で自制できているのはご立派だと思いますし風俗店の利用も不倫とかに手を出さないだけマシなのかなと思いますが、嘘をつかれたり隠されたりする不信感は気になりますね。
預貯金の額とクレジットカードの利用状況、借金の有無にはきっちり目を光らせていた方がいいですし、お財布のひもも引き続き奥様が握っておられた方がいいですね。

ふと思ったのですがご夫婦で楽しめる趣味や、将来のビジョンや目標はおありでしょうか。
何となくですが旦那様はギャンブル以外の趣味や将来の目標がなくて、奥様も子育ててお忙しくて、時間つぶしと手頃な楽しみを求めて結果的にキャンブルに手を出してしまうのかなと思いました。
嘘をつくのは子育てに追われている奥様を尻目に気晴らしを求めてしまう引け目からではと思います。

あと質問者様もお子さんが二カ月ということで、おそらく今は心身の疲労やストレスがピークに達している時期かと思いますので少し悲観的になりやすい時期なのかもと思います。
私も二歳の娘がいますが、子供が生後二カ月の頃は一番厳しい時期でした。
それを超えると親も子も少しずつ生活リズムができてくるので多少楽になってきます。

今は気持ち的に余裕がないかもしれませんが、可能であればご家族で楽しめる趣味(子供中心になり過ぎず旦那様も楽しめるもの)を増やされたり、将来の夢(家を買いたいとか、家族でしたい事とか、車を買い替えたいとか、どういう町に住みたいとか)を話し合われてもいいかもしれません。
旦那様の視線を刹那的な楽しみから、もう少し長期的な目標や家族の楽しみにも広げられたらまた変わってくるかもしれないなと思いました。
旦那さまと仲が良くお互いに好き合っていらっしゃるなら、是非お二人(と娘さん)の未来の事も話し合われてみてください。

おそらく今が一番つらい時期かと思いますので、手を抜けるところは抜いて、ここを含めて悩みやストレスを吐きだせるものは積極的に利用してくださいね。
そっと応援しています。