応募して働きたいと思われているお店の採用の倍率や、そのお店の考え方等にもよると思うのですが、同じようなスペックの人が2人いた時に、今働いている所は辞めて、御社で！！と熱意を持っている人がいたら、そちらの人を採用したい、となると思います…

でも、働いてみないと分からないというのも事実で、数ヶ月働いてみてからと思われる気持ちもよーく分かります。

希望のお店の仕事内容、職場の環境等、気になる点を下調べして、そこで働きたい気持ちが強かったら、
｢すぐに御社だけで働きたい、と自分の思いを貫きたい所なのですが、急に辞めるのは、今働いているお店に迷惑をかけてしまうので、できれば、少しの間御社と現在のお店の2店で働かせて頂き、迷惑をかけない形できちんと○○(現在のお店)を辞めるという形を取りたいと思っております。｣

といった形でお伝えしてみてはいかがでしょうか？

御家族との関係性にも寄りますが、他に働きたい所があり、応募してみようと思う、ということを少しお伝えされてもいいのかなと思いました！
ご参考になればいいのですが。