副鼻腔炎（蓄膿）は慢性化する場合があります。また、風邪などの際に適宜、鼻をかまずに鼻水を啜っていまう癖があると副鼻腔炎を起こしやすいです（副鼻腔に鼻水が逆流して炎症を起こします）。

咳が止まらないのは、喉の痛みや違和感があるせいでしょうか？喉の症状が治まっているにも関わらず咳が出る場合、鼻水が鼻の奥を伝って喉に流れている（後鼻漏）可能性もあります。質問者様の場合、痰が絡むとのことなので後者の可能性が高い印象を受けます（喉に流れ込んだ鼻水が痰として出ている？）。

先日かかった内科を再診し、肺炎などを起こしていないか、咳喘息などの可能性は無いか等を確認してもらう方が良いかもしれません。それで問題なければ、耳鼻咽喉科での治療をオススメします。一度、きれいに鼻水を吸引してもらうだけでも違いますから。
また、血が混じるというのは咳の刺激で喉の粘膜から出血していふのだと思いますが、気管からの出血を否定するためにも、咽頭ファイバーで確認してもらうと安心かと思います。