非常識ではありません。
私も勤めながら転職活動をしましたが、退職を決めてから転職活動をしても必ず就職先が決まるわけではありませんし、もし失敗して無職になったらと思うと怖くて出来ませんでした。

面接の方にいつから働けますか？と聞かれると思いますので、引き継ぎがあるので2週間程度お時間いただければ～などと伝えて下さい。（法律上は退職の意思を伝えればその日から2週間後には退職が出来ます）
私は「会社の規定で退職希望日の1ヶ月前に申し出て下さいと言われたので規定上では1ヶ月掛かりますが、もしご縁があればすぐ上司に退職日について相談します」と伝えました。有り難くご縁があり、今の会社に勤めています。

「今の会社辞めたい」はマイナスイメージなの言わない方がいいです。「◯◯の仕事がしたい」「スキルアップしたい」などこの人なら雇いたいと思えるような理由を言いましょう。