質問者様と同じく、医療職として勤務しています。
私も質問者様と同じで、すぐにもらい泣きしてしまうタイプです。

仕事柄、患者さんが亡くなる場面にはここ数年間、毎週のように立ち会います。その際、「仕事だろ！泣いてる場合じゃないだろ！」と自分に言い聞かせて、その後の処置や説明等をします。
その際、ご家族が「この服を着せてください」「葬儀社に連絡すればいいですか？」等、淡々とした態度の場合はなんとか大丈夫ですが、亡くなられた患者さんに触れながら涙を流していたりすると、その姿を見て私も涙を流してしまいます。もちろん、大声で泣き叫んだり嗚咽したりはしませんが、ご家族の背中をさすったり手を握ったりしつつ、私自身も一緒に涙を流しています。

ついつい涙を見せてしまったご家族からは、クレームが来たことは一度もありません。逆に「一緒に泣いてくれて、気持ちに寄り添ってくれて、ありがとうございました」等のお手紙をいただいたこともあるぐらいです。

ですので、職場の同僚や上司の目にはどう映っているのかは知りませんが、少なくとも患者さんのご家族にとっては、大切な人の最期に立ち会った１人として、心に残る存在になれているのかなと思うので、それを思えば自分の涙もろさも、ただの欠点というだけでは無いのかなと思えます。