ただの世間話なのであまり深く悩まなくても良いのではないか、と思います。
却って頑なに教えない！教えたくない！　という態度を貫くのはやりづらいものです。
「友達でもない」「職場だけの付き合いでプライベートまで関わりたくない」というのはご尤もですが人間関係を築く上ではそういうことを（多少のプライベートを話さなければいけない）言わなければいけない時もあります。

「すれ違った時に挨拶できなかったら悪い印象を与えるのでは？」という心配をすると言うのは質問者さんが真面目な人なんだ、という印象を受けますが、そこもあまり気にしなくても良いと思います。
気が付かなかったんですから落ち度はないです。

なにも事細かく話す必要はないです。
最近起きた事件も頭を過ぎりますし、ざっくりで良いと思いますよ。