当方も乾燥肌ですが、想像できない乾燥具合です。お辛いことと思います。
病院行って下さい。
すぐに行けないようでしたら、ドラッグストアにあるヒルドイド製品や、フタアミン等で凌いでみて下さい。フタアミンは普通の調剤薬局でテスターを配っていたり、1000円位で小さいサイズも販売されているので試しやすいです。
目的が果たせて目に滲みなければ、アイクリームに拘る必要はないと思います。

病院は、保険診療してくれる皮膚科で、かつ、病気ではないけど肌の悩みについて話を聞いてくれそうな所を探してみてください。
普通の皮膚科ですと、病気でない事を気にしすぎるなと大して話を聞いてくれず、ヒルドイド若しくはベトベトの軟膏を出されて終わる可能性があります。
美容皮膚科など自費系は話を聞いてくれそうですが、病院によっては「この位の金額でこの不具合を解消したい」という強い意志が必要かと思います。
近くに合う病院があると良いですね。

メイクは、ファンデーションは頬やTゾーンのみにするなど、目回りを避けた方が良いと思います。お目元は恐らく辛い崩れ方をしているでしょうし、メイクの為に触れるのも刺激になっていそうです。