力が入っていないのでは？
社会人になって塞がってしまいましたが、昔は自分でピアス開けました。怖いですよね(´・ω・`)

ピアッサーに必要なのは思い切りです。
もう卵を握り潰すくらいの勢いで一気に覚悟を決めて開けないと貫通しませんよ。
わたしのときも一回目貫通しなくて痛みに悶絶しながら、まだ針がピアッサーにセットされたままの状態だったので、覚悟を決めて一回目の二倍以上の力を入れてやり直しました。
一番最初に穴をあけたときは、ちょっと力を入れるとバネの力でバチンッ！って針を弾いてくれるタイプだったので苦労しませんでしたが。三つ目のピアスを開けたときは、自分で奥まで押し入れるタイプでしたね。ほんとうに、ググッと最後まで押し込まないと開きません。そして、ゆっくりすると非常に痛いので、勢いで誤魔化さなければなりません。

力加減の問題ではない場合、セットが斜めになっていたのかもしれません。斜めだと、貫通しないことがありますし、貫通しても綺麗じゃありません。
バネのタイプを最近売っているのを見なくなったのは、ズレやすいからじゃないのかなぁと思ってます。

軽く刺さったということは、ちょっと傷が付いているんですかね？
あまり衛生的に宜しくないですし、自分で開ける勇気がないなら病院に行った方が良いですよ。ピアッサーを持って病院に行けば開けてくれます（処置してくれる場所を事前に検索するのをお勧めします）
確実に、綺麗に穴を開けてくれます。人に頼むくらいなら、絶対に病院の方が良いですよ！