私がやっている使い方です
アイプチやマニキュアなどで私がよくする使い方なのですが、
キャップを開けて筆を出す時に、そのまま一気に筆を出してしまうのではなく、筆の軸になっているプラスチックの棒の部分から毛先までを、ボトルのフチを円を描くようになぞって余分な液を落としながら取り出しています。
こうすることで筆を出しきるまでに余分な液をほとんど落とすことができるので、筆を出した後にボトルのフチで液を落とさなくてもよくなります。

もしくは、筆を出した後に余分な液を落とすとき、ボトルのフチではなくスパチュラなどで調節するのはどうでしょうか？
絵具のパレットを使うようなイメージです。
ボトルのフチでカピカピになってしまうよりはマシではないかと思います。


もう一つ無理矢理な手段もありますので一応書いておきます。
アイプチなどのボトルの口には、ボトルの口を狭くするための中蓋のようなものが着いています。
たぶんボトルと色が違ったりしてると思うので、すぐわかると思います。
この中蓋を一度外し、カッターなどですぼまっている部分を切り落とし、それをまたはめればよいです。
無くても蓋は閉まりますが、中蓋を外したままにすると液漏れする可能性もあるので、なるべくならはめ直した方がいいです。
中蓋を外す時は、しっかりボトルをおさえて、ハサミでボトルと中蓋のすきまを挟むようにしながらギコギコひっぱると取れると思います。
作業中は中身が乾燥しないようにボトルの口をラップで塞いでおくのがよいです。