大人になると、色々な知識や経験が備わって来ますから、子どもの頃のようにただ与えられた役割や物事を最後まで全うするだけ、という訳にはいきませんよね。
子どもだったら、例えばクラスで○○係の仕事をきちんと頑張ってやれば『責任感がある』と誉められますが、社会人でしたらそれは出来て当たり前。
お給料を頂いていますから。
大人の責任感って、自分が得た知識や経験を鑑みて(不足があれば関連する事柄を調べて)、先の先を見越して、発言したり行動したりする事だと思います。
自分が発する言葉、行動が周囲にどのくらいの(良くも悪くも)影響を及ぼすか、またはどのような結果が想定されるかを考えた上で、発言なり行動する、というのが大人の責任感ではないかと思います。
社会的な立場が上がれば上がる程、迂闊な発言や行動が出来なくなって来ます。
自分の発する言葉や行動を規範にする人が増えて来るからです。
大人といっても、年齢や立場でその責任の大きさや度合いは違って来ますので、一概には言えませんが、私が自分の立場で考える大人の責任感って、そのような感じです。