ものすごくわかります！！
数年前に私もこの時期に発症して、翌年の4月ころまで症状が続きました。
お風呂上り・寝ているときに痒さで目が覚め睡眠不足の悪循環でした。

私の場合はかかりつけの内科に通院していた時期だったので、
診察時に相談しました。顔用と体用のステロイド軟こうと
ヒルロイドローションが数個でました。
こちらは後発(ジェネリック)もあるそうで、薬局で取り扱いがあれば
そちらが経済的とメンバー様に以前教えていただきました。

女医さんなので「お風呂上りは顔は5分以内、体は10分以内だよ！
これからはずっと続けなきゃいけないからね！」
と女子としての保湿のダメ出し付きでした(苦笑)

かかりつけがなく、初診だとしたら皮膚科かなと思います。
カルーという病院口コミサイトで評判を見てから電話で相談してから
行くかどうか決められても良いと思います。
(今のところカルーは家族含めて失敗がなかったのでお勧めです。)
出る薬は上記のものとたぶん大きな違いはないと思うのですが、
かゆみ止めの注射が受けられるのは皮膚科ならのはずです。

先の回答にある大学附属病院ですが、基本的に新患は診たがらないシステムになっています。
全国的に紹介状がないと＋5000円以上かかりますので私はおすすめしません。
実際それでもと受診した方は、医師に「次回は近くの個人クリニックに」
と言われたそうなので…。
※カルーのURLのせておきますね→https://caloo.jp/