化粧水や個人の好みもあるけれど・・・
その人の肌や、使っている化粧水にもよると思うので、必ず「これが正解！」っていうものはないと思います。
「コットンか手で」と、どちらでもいい場合の化粧水などはお好みの方を選んだり。

コットンもハンドプレスも、それぞれ良いところとちょっと困ったところが出てくるので、化粧水などにもよると思いますが、「自分の肌に合うかどうか」が大事だと思います。

質問のコットンと手についてですが・・・

コットンは
肌に均一につけやすいのと、馴染ませやすいのが嬉しいところ。
化粧水の消費が早いのと、肌が敏感になっているときに使うと刺激を受けてしまうのが・・・困ったところ。

手を使ったときは
自分の手を使うので、刺激がないのが嬉しいところ。
量の調節が難しくて、どうしても手に化粧水が浸透してしまうのが困ったところ。
肌の状態を見て、ニキビができていたり、とっても乾燥しているなど、コットンの繊維が刺激になりそうな時はハンドプレスにしています。
コットンだって細かいことを言えば刺激物にだってなりますし・・・。

私は普段、コットンを使って化粧水などをつけていますが、コットンを使うのは、均一に顔全体につけやすいのと、馴染ませやすいのが理由です。
パッティングで皮脂を抑えるという効果も込めて使っています。
私の場合は皮脂が気になるＴゾーンが中心です。血行促進のためにやることもあるけれど、乾燥が気になるところにはパッティングではなくてパックにするようにしています。
ちょっと多めにコットンに出して、トントンとリズムをつけるようにあくまでやさしく。
最後に手のひらを顔にあてて、肌に浸透するようにハンドプレスはしています。

手を使うのは、自分の手だし、コットンに比べて刺激がないのがいいですし。。
量の調節が難しいので、手に浸透してしまったり指の間からこぼれそうになったり、ちょっと面倒くさいといえばそれまでですが、刺激を与えずに肌へ馴染ませられるのはいいことだと思っています。
逆に刺激にならないか心配なので、ハンドプレスの時、パッティングはしていません。

普段のお手入れの時はコットンを使って、肌が敏感な時はハンドプレス、という風に使い分けをしています。

手を使っても、コットンを使っても、どちらだって良いところと悪いところがあるからお医者さんも本もそれぞれオススメは違ってくるんじゃないかなぁ、と思います（推薦者の商売云々を抜きにして考えてみても・・・）

どちらの使い方をするにしても、量を少なくしたりせずに、ある程度の量をお肌にきちんと化粧水を浸透させるのが大事なんだと思います。

長々とすみません。参考になれば嬉しいです。