赤味の原因は何ですか？
肌荒れ？ニキビ？それとも特に荒れはなく、血の気が目立つだけなのでしょうか？
文章からでは判断がつかないのですが、おそらく最後の「特に荒れてないけどもともと赤い」のような気がしますが、違いますか？これを前提に話をしますから、違ってたら読み飛ばしてくださいね～

肌荒れが原因ではない赤味の場合、皮膚の薄さなどが原因だと思われます。
血行が極端に良かったり悪かったりすると、赤味が特に目立つかもしれませんね。

別に皮膚が薄くなくても、小鼻の周りは赤いものです。また、目の下や頬骨の辺りの皮膚も、他より薄くなってますから、色白で肌が薄い方は赤味が目立ちます。
はっきり言って、メイク（しかも下地だけで）で隠れる程度の赤味なら、程度の差こそあれ誰しもあることです。あまり近視眼的にお顔を気にしないほうが良いですよ。

クレンジングが関係あるかどうかですが、クレンジング剤そのものが原因で皮膚が薄くなる、なんて聞いたことがありません。
ですから、オイルでもジェルでもミルクでも、お好きなものを使ったらよいと思いますよ。

ただ、クレンジングや洗顔、スキンケアの際の摩擦は関係ある可能性があります。
ゴシゴシこすって物理的に角質を引き剥がし、ますます赤味が目立つようになる…ということですね。
ですから、クレンジングを変える前に、トータルなお手入れの仕方を見直してみたほうがよいと思います。
とにかくこすらず、叩かず、優しくお手入れしてください。

クレンジングを見直すなら、なるべく落とす際にこすらないで済むように、肌すべりが良く、そして落ちが良く、すぐお湯で流せるようなものがよいと思います。
また、自分が気分的にこすらずに済むものを選ぶことも大事です。
ヌルつきが気になってこするとか、落ちたかどうか気になってこするとか、人によっていろいろ癖がありますから…

いろいろ言いましたが、もともと皮膚が薄い場合、完全に赤味をなくすのは、セルフケアでは無理だと思います。
どうしても気になるなら、皮膚科や美容整形などで相談されてはどうでしょうか。