体をガンガンに冷やすのが良くないだけなので、適度なアイシングは必要ならしても大丈夫だと思います。
熱中症で病院に運ばれるようでしたら、なおさら適度にアイシングする必要があるかもしれません。

氷や保冷剤で冷やすと体調が心配という場合は、冷水で濡らしたタオルを固くしぼって首に巻いてみてください。
これでしたら、氷や保冷剤ほど冷えすぎることはないと思います。

詳しくは、主治医の先生や内科のお医者さんに体が暑い時の冷やし方などをご相談してみてください。
ご質問者様のご体調やこれまでの症状も加味したうえで、適切な方法を教えてくださると思います。

ちなみに、体脂肪と皮膚の水分量が直接、体温調節に関係することはないと思います。
脂肪も筋肉もあまりないようでしたら、それも体調が崩れる原因の一つかと思います。

まずはよく食べてよく寝ることから始めて、運動はそれからになるかもしれません。
この辺は主治医の先生にご相談されてください。
運動のやり方など、希望すれば教えてもらえるはずです。