私の場合は自分のキャパを超えないように友達に話したり(アドバイスを貰うというよりは本当に話を聞いてもらうだけです)1人で泣いたりします。あとは、次同じような状況になったらどう対応しようかなどシュミレーションします。すると、2回目は意外とスムーズに対処できたりします。泣くことは悪いことではないですし、性格のひとつとして涙もろかったり感情に入り込みやすい人もいると思います。自分から変わろうとすることもすごく大切ですが、相手に自分はどういう性格かを知ってもらうことも大切だと思います。人とのコミュニケーションや関係性は自分と相手お互いが協力しあって作り上げていくものだと思うからです。例えば匿名さんの場合だと、話の最初に「私少し涙もろいのでこーゆう話をすると泣いてしまうかもなのですが」とあらかじめ前置きしたり、普段から接する人なら普段の会話で涙もろいことをなんとなく伝えてみたりするだけで相手ももし匿名さんが泣いたとしてもなにも知らないよりは対処しやすいと思います。
長々と失礼しました。お仕事上手くいくことを願っています！