アルコールなどの一次刺激
こんにちは。

ご質問者様が化粧品などを使用されて感じた「ピリッとした痛み」は、『一次刺激』と言います。
エタノールが傷口などに付着した時に感じる刺激と同じで、沢山の方々のアドバイス、非常に参考になりますね。
ですので、私からは少しフォローだけ付け加えさせて下さい。

化粧品を使った場合に感じる事のあるこの一次刺激は、他の方がご指摘下さっているようにエタノールに代表され、ニキビの開口や傷口がむき出しになっている時によく起こります。

ただこれは傷口の消毒の時などの時を思い返して頂ければ分かりやすいのですが、一次刺激は成分が神経に触れた時に起こす刺激ですので、それが必ずしも『皮膚に悪い』とイコールではありません。
例えばアトピー症の方などはよく経験するのですが、ひどい状態の時などは水道水や塩水も痛みを感じますし、私もいまだにひどい時は自分の汗やＴシャツが触れている部分もピリピリと痛みを感じます。

他には、目薬を指して『目が痛い＝目に悪い』とは思わないのも同じ事ですね。

ただ皆さんがおっしゃっているように、『なら、大丈夫』と安心してはいけません。
この次に起こる『二次反応』（二次刺激とは言わないのですが。）に発展するかどうかで、大丈夫かどうかが分かれます。
それが皆さんも指摘されているアレルギー反応だったり、「紅斑」や「腫れ」「かゆみ」「ブツブツ」といった症状になります。
コレはしばらく時間が経過してから起こるカラダの反応で、これが出るとその化粧品はお肌に合わない、という事になります。

そういう意味で今回刺激を感じた化粧品は、この反応が出るかまで試してみてから合うか合わないかを判断するのが良いかもしれません。
とはいえ、反応が出るまでみるのは怖い、また、他の化粧品で合わずに腫れたりブツブツが出たりした経験がおありなのでしたら、その時点でもう止めておくのもひとつの方法ですね。

こんな感じで、判断してみられてはいかがでしょうか。