皮膚科で治療しましょう。
はじめまして。ニキビ、痛いし見た目も気になりますね。
毛穴の黒ずみですが、これは初期のニキビ（黒ニキビ）だと思いますよ。
ニキビは角質と皮脂が混ざって酸化したもの＝コメドが毛穴につまる事から始まります。毛穴が開いて居る場合は開放面皰という皮膚の病気です。この状態ではまだ痛みや腫れはないのでニキビとは思わないかもしれませんが、これが進行すると痛い大きなニキビになってしまいます。
ニキビは中の角栓のようなもの（コメド）を出すと早く治るような気がするかもしれませんが、潰すことでばい菌が入り、どんどん悪化して大きな傷が残ったりします。潰さずお薬で治していきましょうね。

> 潰したら毛穴から大きな角栓が顔を出すんですが、それを抜くと落とし穴の様な大きな穴が出来、血が出てきます。

詰まった毛穴の中で、いろんな菌が増えてしまい、それが原因で皮膚が炎症を起こした状態（赤ニキビ）にまで進行してしまっているのではないでしょうか？コメドを乱暴に引き抜いてしまうと、周りの皮膚や血管まで傷つけてしまいますので、大きく穴が開いたように見えて血が出たりします。
皮膚科の先生にお聞きしたのですが、このようなニキビを潰した部分は「傷」ですから、もう薬も塗らない方が良いそうです。むしろ、傷口を触る事でばい菌が入って化膿したりするので危険だという事でした。
傷になった部分は「なにもしない」のが基本で、傷口を清潔にして修復する働きをする体液が傷口から出てきますので、これが固まるのを待ち、触らない方が良いと言われましたよ。
だから、つぶれてしまっても化粧水を傷口に付けるのはやめて、血がどうしても止まらない場合だけ滅菌ガーゼという清潔なガーゼ（薬局で売られています）で血が止まるまで抑えるだけにしてくださいね。髪の毛もあたらないように気を付けて下さい。

> このような跡や毛穴の黒ずみを、どうすれば無くす事が出来るでしょうか？

黒ニキビはお医者さんでお薬をもらって治すか、医療器具でコメドを出す処置をしてもらって下さいね。
皮膚科に行けば、菌を殺すための塗り薬や飲み薬、コメドが出来にくくなるようにお肌が回復するのを助けるお薬など、色々と相談に乗ってもらえますよ。お肌やニキビの仕組みも一度ちゃんと説明を受けられた方が良いと思います。自分で治そうと触ったりするより皮膚科に行くのが一番安全で、近道ですよ。
ニキビ跡は傷跡です。体のほかの部分の傷あとと同じように、消えるのには時間がかかりますので、焦らないでくださいね。

良くないのは、薬屋さんで売っている市販のニキビ用塗り薬やニキビ肌用の化粧水などを使う事です。こうした化粧品の中には、必要以上にお肌の脂を取ってしまったり、さっぱりした感触を作るためにアルコールが多めに入っているものがあり、お肌を乾燥させてしまう事があります。