使い方などによって変わります。
精油をフェイシャルに使用する場合3か月程度がいいと思います。
これはオイルで精油を希釈していても同じです。

ただ湿疹等に部分的に使用しているのであれば、連用期間に関しては
そこまで神経質にならなくても大丈夫なようにも思います。

同じ場所につける上での連用期間なので、化粧水等に混ぜ顔全体に使う場合は
使う精油を1～2週間でローテーションすれば問題ないです。

どんな湿疹かによっても効果のあるものが違うのでなんとも言えませんが、
ティーツリーは殺菌効果が高いことと、鎮痒効果があるため
虫さされやニキビに効果があると言われています。
似たような効果があるものとしては、ラベンダーやマヌカがいいと思います。

香りの効果でも肌への効果でも精油は奥が深いので、
湿疹がストレス性なのか、皮脂バランスの崩れなのか、ホルモンバランスなのか、
乾燥によるものなのかや、そもそもの肌質や肌トラブルの種類などによって
ベストなものが変わります。

よく言われているのは、見た目に肌トラブルなどの変化がなくても
「心地よい」と感じる香りが変わることがあり、その時は自分が良いと思った
香りが一番相性がいいはずだ、というものです。

ご自身の症状などから適切なものを調べられてからお使いになれば、
より短期間でお肌の調子が良くなると思いますよ。

また一般的に精油は容器等に使用する上での全ての注意点は、
書かれていないと思います。
使用方法が多岐に渡ってあるからです。
無印良品の精油はアロマポットなど「香りを楽しむ」ための精油なので
そもそも肌につけないよう注意書きがあると思うのですが…

ホホバ油ですが、
ホホバ油そのものの特質としては、液体の「ロウ」であるため非常に酸化しにくいオイルに分類されます。

ですが、
精油と混ぜて保管されているのであれば、3か月程度が保管期限になります。
湿疹など肌の疾患部分に塗布されているのであればなるべく新鮮なものの方が良いでしょう。
ホホバ油単品で保管されているのであれば、酸化臭がしなければ
大丈夫という見方もあると思います。

食べ物と同じでなるべく新鮮であるに越したことはないので、
これも御心配でしたら、古いものはボディマッサージやヘアケアに利用し
お早めに使い切って
新しいものをフェイシャル用にお使いになるといいと思います。
ホホバ油はスリミング効果もあるので、脚のマッサージにも向きますし、
シャンプー前の髪や頭皮になじませたり、トリートメントに数滴加えたり、
ドライヤー前の髪に2滴ほど馴染ませるととても良いです。