こすっちゃダメ！落とさないとダメ！
スキンケアの基本はまず落とすことです。
きちんと全部落としてください。

よく言われていることですが、目をこすっていると、あとあとたるみやシワの原因になるらしいです。

下まぶたのアイメイクが落ちないとのことですが、
下まぶたにクレンジング剤がなじんでいないのが原因と思われます。

クレンジングを目を開けた状態でつけ、下まぶたにも指先でそっとつけてみて下さい。もちろん、洗い流すときは目をつぶってください。何度もすすいで、メイクは落としきってください。

もしくは、目元だけ先にクレンジングしてから、顔全体をクレンジングしてください。コットンにクレンジング剤を含ませて、目の上に30秒以上当てて、ゆっくり滑らせて落とします。
目のキワは、綿棒の先にポイントメイクアップリムーバー（クレンジング剤）をつけて、転がしてメイクを綿棒を移し取ります。これをメイクが完全に落ちるまで繰り返してください。
この方法は誰か有名なメイクアップアーティストが言っていた方法です。
これをやるだけの気力があるなら、こちらの方がいいと思います。