オイルクレンジング
赤みや痒みが出たらすぐに使用を中止するのが基本です。大抵の化粧品の注意書きにも記載されています。
赤みや痒みは肌が炎症や拒絶反応を起こしているサインですので、使い続けるのは危険です。

オイルクレンジングについては、口コミでも賛否両論ですが、私がニキビでお世話になっていた皮膚科の先生は否定派でした。
油分による刺激や流し残りでニキビが悪化するので使用しないように言われていたので、ずっとジェルかミルクを使っています。
ウォータープルーフの日焼け止め、リキッドファンデーション、パウダーファンデーションを重ねていますが、ジェルクレンジングの後に洗顔料を使っていて、メイク残りで肌トラブルを起こしたことはありません。
ウォータープルーフのマスカラを使った時にはポイントメイク用のクレンジングは使用しますが、普通のマスカラやアイラインならそのままでも落ちます。

ドーランを使った舞台メイクをしているなら別ですが、通常のファンデーションならどんなクレンジングでも落ちないことはないと思います。

とりあえず、使用して赤みや痒みが出ているオイルは使用を中止して、肌に合った物を探した方がいいと思いますよ。