お肌の健康状態から見直してみるのもありかもしれません
こんばんは。yuzuruneと申します。
具体的なクレンジングのレスにはならないかもしれませんが、心配になりましたので書き込みさせて頂きます。

最悪、クレンジングをしない方法を考えるのもありなのかなとも思いました．拭き取りクレンジングは確かに楽ですが、肌をこする上に、運が悪ければ成分が肌の健康上好ましくなく、さらに拭き取るだけなのでそれが一晩中肌に付きっぱなしになってしまうことすらあります。こちらは、おすすめしません。

また、その他のクレンジングでも、こすり過ぎがよくないのは確かです。
オイルクレンジングも、確かにお肌のうるおいを奪いすぎてしまうことがありますね。
しかしオイル自体はお肌に悪くはないのです。
毎日のお手入れの際、適度にオイル→化粧水→オイル・・・と、ミルフィーユ状に載せてあげることでうるおいやキメを整え肌を元気にしてくれる成分でもあります。余談ですがこの使い方ではオリーブバージンオイルが一番、私の知る中では安全です．

話が逸れましたが、そもそも、なぜお肌が敏感になってしまうのかは、お考えになられましたか。
それには、紫外線や摩擦、ものによっては化粧品の成分や、タバコの煙など、さまざまな刺激により肌が薄くなったり弱ったりしてしまっているからなんです。
現代は色々なクレンジングが出ており、私もそれらすべてに詳しくはありませんが、少なくともどれもメイクと一緒に肌からうるおいを奪ったり、馴染ませることで多少なりとも摩擦が生じ肌のダメージとなります。
率直には、使わない方法を考え、しばらくお休みし、肌が回復するのを助けてあげることが先決かなと思いました．
ベースメイクを洗顔だけで落ちてしまうくらいほとんど何もせず、アイブロウやマスカラのみにしてあげるとかです。一時的には物足りないかもしれませんが、これが悪化し、しわやシミなどになっては大変です．

この時期、特に紫外線が強くなります。
日焼け止めを何度も塗るのもありですが、それも摩擦になりますので、日傘や防止などがおすすめです。
また、コットンパックは傷んだ肌をやさしくいやしてうるおいを与えてくれるので良い物です。

おそらく普通の方よりも肌が薄くなっているので、大事にして挙げて下さい．
早くお肌が元気になります様に。