ピアスを開けるのは慣れている病院の皮膚科で開けることをお勧めします。
普通の病院よりもピアスの穴開けを積極的にやっている病院の方がいいですね。普通の病院だと下手だったり知識がない医師もいますので。
あとピアスは自分で開けるよりも慣れている人の方がいいですが、医師免許のない他人がピアスを開けることは法律により禁じられていますので注意してください。

次に開ける季節についてですが、特別暑い・寒い地域でなければ気にする必要はないと思います。
ただ注意して欲しいのは、金属は人肌より熱しやすく冷めやすいので、冷たくなりすぎてしもやけの原因になったり熱くなりすぎて低温やけどの原因になったりします。
雪がとても多い地域の方ならあまり寒くない季節・亜熱帯に属する地域の方はあまり暑くない季節に開ける事をお勧めします。
あと夏場に泳ぎたい方は避けた方がいいでしょう。

ピアスホールは穴が安定するまでは消毒を欠かさない事が大事ですが、ここでひとつ注意点があります。
よくある市販の傷口用消毒薬（マキロンなど）は、長期間使うとそれ自体にかぶれてしまうので、出来ればピアスホール用の消毒薬を使用するようにして下さい。